Уроки математики

Ну почему же я опять не вскрыл ни одного холдинга! Где же мой МегаГиперПерсонаж?! Когда же я надроваю нужную акцию?! Наверное, каждый игрок в Кольца не раз с обидой и возмущением задавал себе подобные вопросы…Однако стоит ли возмущаться? Вряд ли я открою Америку, сказав, что все подобные случаи легко описываются при помощи математики, и в этой статье мы попытаемся разобратся, каков же на самом деле шанс сидеть без золота хода 3 или же за всю игру так и не увидеть своего любимого фойлового Чемпиона Клана.

0. Постановка задачи.
Не думаю, что сам по себе вывод конечной формулы кого-либо интересует, поэтому перейду сразу к делу. Итак, вот что мы имеем:

A – количество карт интересующего нас типа в колоде (например число холдингов или же число Sneak Attack в колоде)
C – общее количество карт в колоде
D – количество взятых карт
N – число, вероятность прихода именно такого числа карт мы, собственно, и вычисляем
! – оператор факториала. Напоминаю, что факториал числа Х – это произведение всех целых чисел от 1 до Х. Например, 5!=5*4*3*2*1=120. Итак, вот формула для вычисления вероятности прихода ровно N карт некого типа при взятии из колоды D карт подряд. Естественно, мы считаем, что колода перемешана случайным образом.

Вручную считать факториалы, конечно, муторно, но за пару минут несложно сделать листик в Экселе, который нам все и подсчитает. А пока что давайте посмотрим, что же интересного нам принес научный подход.
1. Вскрываем холдинги.
Самое интересное – это вероятность не получить на первый ход золота. Допустим для простоты, что у нас ровно 40 карт в деке, из 15 холдингов, т.е C=40, A=15. На первый ход мы берем 4 карты, т.е D=4, ну а N в нашем случае равно 0. Искомая вероятность будет равна примерно 14%. Кому как, по мне слишком много. Для 16 холдингов она составит 12%, для 17 уже 10%. Впрочем, второй ход важен даже больше, чем первый, ведь на первый мы можем слазить в колоду за чудо-коробкой (то бишь legacy холдингом). А вот на второй для большинства дек жизненно важно купить еще два холдинга. Прикинем вероятность и этого события. Это несколько сложнее, так как все зависит от того, сколько карт мы скинем из провинций после первого хода, поэтому рассмотрим несколько вариантов. Для начала прикинем идеальный расклад – на первый ход ровно два холдинга, идем за коробкой, ничего не сбрасываем, и на второй ход покупаем эти два холдинга – просто мечта. Оказывается, вероятность этой мечты (при A=15) составляет 34%, а при A=17 уже 38%. Довольно неплохо. Другая крайность – мы не вскрыли золота вовсе. Достали коробку, все сбросили и переходим ко второму ходу. Какова же вероятность не получить холдингов и на второй ход? Считаем – вероятность не вскрыть ничего на первый ход, как мы помним 14%, точнее 0,1384. На второй же ход очевидно, что C=35 (нашли Legacy и 4 карты сбросили), A=14 (ушел тот же Legacy), D=4, ну а N по прежнему равно 0 – и таким образом вероятность не получить золота во время второго хода 0,1143. Довольно-таки немало! При 17 же холдингах в колоде шанс отъехать из-за отсутствия золота уже меньше – 0,074. Обратите внимание, что вероятность не увидеть холдинг на втором ходу НЕ зависит от того, что мы вскрыли на первый! Дело в том, что после доставания Legacy мы перемешиваем колоду, и события “не вскрыть золота на первый ход” и “не вскрыть золота на второй ход” становятся независимыми. Однако получить на второй ход только лишь один холдинг тоже малоприятно, а ведь вероятность этого события почти 36%! Впрочем, при наших начальных условиях в 53% случаев хотя бы 2 строения на второй ход будут, а при 17 холдингах в колоде даже в 62% случаев. Таким образом, путем несложных подсчетов можно показать, что шанс на то, что “все плохо”, т.е. на первый ход мы ничего не вскрыли, и на второй ход тоже не смогли купить два строения, равен примерно 6,6% для 15 холдингов и 3,8% для 17.

Поговорим теперь о классической ситуации – на первый ход мы не получили ни одного холдинга, но зато вскрыли любимого фойлового МегаЧемпиона, которого очень жалко скидывать – и мы его оставляем. В таком случае вероятность не дождаться золота (при 15 холдингах в деке) на второй ход уже 0,2032, а при 17 холдингах – 0,148! Таким образом, одна не сброшенная на первый ход карта увеличивает ваши шансы остаться без денег в два раза. Так что вывод номер один – не будьте тряпками, нет холдингов – скидывайте все из провинций без жалости! Рассмотрим теперь другой интересный случай – на первый ход открывается один холдинг. Что же делать – идти за коробкой и сбрасывать 3 нехолдинга или же покупать холдинг и опять же сбрасывать сколько-то карт? Напомню, что наша цель на второй ход купить 2 холдинга – наиболее часто встречающаяся стратегия игры. Итак,считаем…В первом случае на второй ход С=36 (ушли GF и 3 сброшенные карты), A=13 (15 минус GF и минус открывшийся на первый ход холдинг), D=3 (одна провинция занята холдингом с первого хода), N=0 – и вероятность 0,248, почти 25%. Для 17 холдингов ситуация лучше – 0,1862. Во втором случае С=36, A=14 (просто купили холдинг), D=4. Вероятность же вскрыть хотя бы 2 холдинга составляет всего 0,5096, т.е. почти с 50% шансом мы не сможем купить на второй ход 2 холдинга. Если же в колоде их было изначально 17, то подобная вероятность будет примерно 38%. Таким образом, вывод простой – коробку покупать надо!
2.Мегакартон
Вернемся к нашему любимому фойловому Чемпиону. Давайте прикинем, какова же вероятность увидеть его на столе? Вероятность его появления зависит от того, сколько карт из колоды мы “прокрутим” за игру. Типовая партия проходит примерно так – первый ход коробка (-1 карта) и 3 карты в сброс. Второй ход 2 холдинга покупаем. Третий – персонаж и еще допустим 2 холдинга. Далее за ход из деки выходит в среднем по 3 карты. Итого к 7-му ходу, когда партия уже подходит если не к концу, то к развязке, колода облегчается на 18 карт. Легко видеть, что вероятность прихода вашего МегаБивня за первые 6 ходов составляет в таком случае 45%. Много это или мало, решать вам – но строить колоду вокруг карты, которую в половине партий вы не увидите, я бы не советовал. Кстати, увеличение общего размера колоды на 1 карту ведет к уменьшению этой вероятности примерно на 1% – так что играть 50 картами в деке далеко не лучшая идея.
3. Где же вы, мои дуэли
Рассмотрим теперь Fate-колоду. Не секрет, что наличие той или иной карты при начале активных действий критично для любой стратегии игры. Первые пару ходов обычно не происходит ничего интересного, так что мы можем смело считать размер стартовой руки равным не реальным 5 картам, а как минимум 7. Итак, займемся подсчетами. Если в нашей колоде всего 3 нужные нам карты (ну например дуэли), то вероятность получить хотя бы одну в первых 7 картах равна, нетрудно видеть, 44,8%. Если же таких карт только 2, то вероятность падает до 32,3%. При наличие же 6 подходящих карт(например по комплекту дуэлей 2 разных видов), то эта вероятность уже чуть более 70%! За первые же 6 ходов, чаще всего определяющие победителя, вероятность получить хотя бы 1 из 3 нужных карт составит 63%, а 1 из 6 уже почти 84%, для 1 из 2 же 48%.Теперь пара слов по поводу всяких уникальных поломов. Шанс получить, к примеру, фамильное оружие клана за первые 6 ходов всего лишь 27,5%, так что не стоит слишком рассчитывать на сверхсильные, но одинокие карты, если у вас нет средств для их поиска. Еще несколько слов о комбах. Конечно, в данном случае вероятности не особенно применимы, так как любая комбо-дека обладает мощными средствами поиска нужных карт. Но тем не менее приведу пару цифр, как говорится, хозяйке на заметку – вероятность одновременного прихода 2 определенных карт, если их в колоде по 3 штуки, составляет 20% для первых 2 ходов, а для первых 6 почти 40%.